Conhecimentos numéricos

Este tópico reúne a "matemática do dia a dia": conjuntos numéricos, divisibilidade, MMC e MDC, frações, razões e proporções, regra de três, porcentagem, juros e progressões. Na AOCP, as questões costumam vir contextualizadas (escalas de serviço, consumo de combustível da viatura, descontos, efetivo de um batalhão), e quase sempre exigem montar o raciocínio antes de fazer a conta.

Conjuntos numéricos

• Naturais (ℕ): 0, 1, 2, 3...
• Inteiros (ℤ): ..., −2, −1, 0, 1, 2...
• Racionais (ℚ): números que podem ser escritos como fração a/b, com b ≠ 0: inteiros, decimais exatos (0,25) e dízimas periódicas (0,333... = 1/3).
• Irracionais: não podem ser escritos como fração; têm infinitas casas decimais sem período: √2, √3, π, e.
• Reais (ℝ): a união dos racionais com os irracionais.

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. A raiz quadrada de número negativo não é um número real.

Regras de sinais: na multiplicação e na divisão, sinais iguais dão + e sinais diferentes dão −. Ordem das operações: parênteses, potências e raízes, multiplicações e divisões (na ordem em que aparecem), somas e subtrações.

Divisibilidade, MMC e MDC

Critérios: um número é divisível por 2 se for par; por 3 se a soma dos algarismos for divisível por 3; por 4 se os dois últimos algarismos formarem número divisível por 4; por 5 se terminar em 0 ou 5; por 6 se for divisível por 2 e por 3; por 9 se a soma dos algarismos for divisível por 9; por 10 se terminar em 0.

Números primos têm exatamente dois divisores: 1 e ele mesmo (2, 3, 5, 7, 11, 13...). O 2 é o único primo par. O 1 não é primo.

• MMC (mínimo múltiplo comum): use em problemas de coincidência ("de quanto em quanto tempo os eventos voltam a acontecer juntos?"). Exemplo: uma viatura passa por um ponto a cada 12 minutos e outra a cada 18. Passaram juntas às 8h; voltarão a passar juntas após MMC(12, 18) = 36 minutos, às 8h36.
• MDC (máximo divisor comum): use em problemas de divisão em partes iguais, do maior tamanho possível. Exemplo: dividir 48 soldados e 36 soldadas em grupos com o mesmo número de pessoas, sem misturar e com o maior grupo possível: MDC(48, 36) = 12 pessoas por grupo (4 grupos de homens e 3 de mulheres).
• Propriedade: MMC(a, b) × MDC(a, b) = a × b.

Frações e decimais

• Somar frações exige denominador comum (use o MMC dos denominadores).
• Multiplicar: numerador × numerador e denominador × denominador.
• Dividir: multiplica-se a primeira pelo inverso da segunda.
• Fração geratriz de dízima periódica simples: 0,777... = 7/9; 0,2525... = 25/99.

Razão e proporção

• Razão é a comparação por divisão: a/b. Exemplo: em um batalhão com 300 homens e 60 mulheres, a razão de mulheres para homens é 60/300 = 1/5.
• Proporção é a igualdade entre duas razões: a/b = c/d. Propriedade fundamental: a × d = b × c (o produto dos meios é igual ao produto dos extremos).
• Escala = distância no desenho ÷ distância real. Em um mapa na escala 1:50.000, 1 cm representa 50.000 cm = 500 m.

Grandezas diretamente e inversamente proporcionais

• Diretamente proporcionais: quando uma aumenta, a outra aumenta na mesma proporção (quantidade de combustível e distância percorrida).
• Inversamente proporcionais: quando uma aumenta, a outra diminui na mesma proporção (número de trabalhadores e tempo para concluir uma obra; velocidade e tempo de viagem).

Divisão proporcional: dividir 900 reais em partes proporcionais a 2, 3 e 4: soma das partes = 9; cada "parte" vale 900 ÷ 9 = 100; as quantias são 200, 300 e 400.

Regra de três

Simples: duas grandezas. Monte a tabela, identifique se são direta ou inversamente proporcionais e resolva.

• Direta: se 4 viaturas consomem 120 litros, 6 viaturas consomem x: 4/6 = 120/x ⇒ x = 180 litros.
• Inversa: se 6 bombeiros limpam uma área em 8 horas, 12 bombeiros limpam em x horas: mais bombeiros, menos tempo ⇒ 6 × 8 = 12 × x ⇒ x = 4 horas.

Composta: três ou mais grandezas. Coloque a grandeza da incógnita como referência e compare cada uma das outras com ela, invertendo as que forem inversamente proporcionais.

Porcentagem

x% significa x/100. Técnicas rápidas:

• 10% de um valor: divida por 10. 1%: divida por 100. 50%: metade. 25%: um quarto.
• Fator de aumento: aumentar 20% é multiplicar por 1,20. Fator de desconto: reduzir 20% é multiplicar por 0,80.
• Aumentos e descontos sucessivos se multiplicam, não se somam: aumento de 10% seguido de desconto de 10% resulta em 1,10 × 0,90 = 0,99, ou seja, queda de 1% em relação ao valor inicial.
• Variação percentual = (valor final − valor inicial) ÷ valor inicial × 100.

Juros simples e compostos

• Juros simples: J = C × i × t, e o montante é M = C + J. Os juros incidem sempre sobre o capital inicial e crescem linearmente. Exemplo: R$ 1.000 a 2% ao mês por 5 meses: J = 1.000 × 0,02 × 5 = R$ 100.
• Juros compostos: M = C × (1 + i)ᵗ. Os juros incidem sobre o montante do período anterior ("juros sobre juros"). Exemplo: R$ 1.000 a 10% ao ano por 2 anos: M = 1.000 × 1,1² = R$ 1.210.
• A taxa e o tempo devem estar na mesma unidade (mês com mês, ano com ano).

Sequências e progressões

Progressão aritmética (PA): cada termo é o anterior mais uma constante (a razão r). Exemplo: 3, 7, 11, 15... (r = 4).

• Termo geral: aₙ = a₁ + (n − 1) · r.
• Soma dos n primeiros termos: Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2.

Progressão geométrica (PG): cada termo é o anterior multiplicado por uma constante (a razão q). Exemplo: 2, 6, 18, 54... (q = 3).

• Termo geral: aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹.
• Soma dos n primeiros termos: Sₙ = a₁ · (qⁿ − 1) / (q − 1), para q ≠ 1.

Exemplo de PA: um recruta corre 2 km no primeiro dia de treino e aumenta 0,5 km por dia. No 9º dia, correrá a₉ = 2 + 8 × 0,5 = 6 km; em 9 dias, terá corrido S₉ = (2 + 6) × 9 / 2 = 36 km.

Como a AOCP cobra

• Problemas de MMC (coincidência de escalas) e MDC (divisão em grupos).
• Regra de três simples e composta.
• Porcentagens sucessivas e variação percentual.
• Juros simples x compostos.
• Termo geral e soma de PA e PG.

Pegadinhas comuns

• Somar aumentos e descontos sucessivos ("+10% e −10% = 0%").
• Tratar como direta uma relação inversa (mais trabalhadores, menos tempo).
• Usar taxa mensal com tempo em anos.
• Considerar o 1 como número primo.
• Confundir MMC (coincidência) com MDC (maior divisão).

Quadro-resumo

Tema	Fórmula / regra
Proporção	a × d = b × c
MMC	Coincidência de eventos
MDC	Maior divisão em partes iguais
Aumento de x%	× (1 + x/100)
Juros simples	J = C · i · t
Juros compostos	M = C · (1 + i)ᵗ
PA	aₙ = a₁ + (n − 1)r; Sₙ = (a₁ + aₙ)n/2
PG	aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹