Compreensão de estruturas lógicas (lógica proposicional)

A lógica proposicional estuda frases que podem ser julgadas como verdadeiras ou falsas e como elas se combinam por meio de conectivos. É a base de quase todas as questões de Raciocínio Lógico da AOCP: tabelas-verdade, negações, equivalências e "descubra quem está mentindo". Dominar meia dúzia de regras resolve a maior parte das questões.

Proposição

Proposição é toda sentença declarativa que pode ser classificada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não as duas coisas ao mesmo tempo.

• São proposições: "Recife é a capital de Pernambuco" (V); "2 + 2 = 5" (F).
• Não são proposições: perguntas ("Que horas são?"), ordens ("Apresente-se!"), exclamações ("Que dia lindo!"), sentenças abertas com variável ("x + 3 = 7", "Ele é soldado"), pois não se pode atribuir valor lógico sem saber quem é x ou ele, e paradoxos ("Esta frase é falsa").

Princípios: identidade (uma proposição verdadeira é verdadeira), não contradição (não pode ser V e F ao mesmo tempo) e terceiro excluído (ou é V ou é F, não há terceira opção).

Conectivos lógicos

Conectivo	Símbolo	Leitura	É verdadeiro quando...
Negação	~p ou ¬p	não p	inverte o valor de p
Conjunção	p ∧ q	p e q	as duas forem V
Disjunção inclusiva	p ∨ q	p ou q	pelo menos uma for V
Disjunção exclusiva	p ⊻ q	ou p ou q	exatamente uma for V
Condicional	p → q	se p, então q	só é F quando V → F
Bicondicional	p ↔ q	p se e somente se q	as duas têm o mesmo valor

Tabela-verdade

Com n proposições simples, a tabela tem 2ⁿ linhas (2 proposições: 4 linhas; 3 proposições: 8 linhas).

p	q	p ∧ q	p ∨ q	p → q	p ↔ q
V	V	V	V	V	V
V	F	F	V	F	F
F	V	F	V	V	F
F	F	F	F	V	V

O condicional é o mais cobrado. Pense numa promessa: "Se você passar no concurso, então eu te dou um carro." A promessa só é quebrada (falsa) se você passar e não ganhar o carro (V → F). Se você não passar, a promessa não foi quebrada, ganhe ou não o carro. Por isso:

• antecedente falso ⇒ condicional verdadeiro (qualquer que seja o consequente);
• consequente verdadeiro ⇒ condicional verdadeiro.

Expressões equivalentes ao condicional "se p, então q": "p implica q", "quando p, q", "p é condição suficiente para q", "q é condição necessária para p", "p somente se q", "todo p é q".

Tautologia, contradição e contingência

• Tautologia: proposição composta sempre verdadeira, quaisquer que sejam os valores das simples. Exemplo: p ∨ ~p ("Chove ou não chove").
• Contradição: sempre falsa. Exemplo: p ∧ ~p.
• Contingência: pode ser V ou F, dependendo dos valores das simples.

Negações (o tema campeão)

1. Negação de "e" (De Morgan): ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q. Nega-se as duas e troca-se "e" por "ou". "O soldado é disciplinado e pontual" → "O soldado não é disciplinado ou não é pontual".
2. Negação de "ou" (De Morgan): ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q. "Vou à praia ou ao cinema" → "Não vou à praia e não vou ao cinema".
3. Negação do condicional: ~(p → q) ≡ p ∧ ~q. Mantém-se a primeira, nega-se a segunda e troca-se por "e" (regra do "MA-NE": Mantém a primeira, Nega a segunda). "Se chover, então a operação será adiada" → "Chove e a operação não será adiada". Atenção: a negação de um condicional não é outro condicional.
4. Negação do bicondicional: ~(p ↔ q) ≡ p ⊻ q (ou exclusivo), ou ainda (p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ q).
5. Dupla negação: ~(~p) ≡ p. "Não é verdade que o tenente não chegou" = "O tenente chegou".

Negação de quantificadores:

• ~(Todo A é B) ≡ Algum A não é B. "Todo policial é corajoso" → "Algum policial não é corajoso" (ou "Existe policial que não é corajoso").
• ~(Algum A é B) ≡ Nenhum A é B.
• ~(Nenhum A é B) ≡ Algum A é B.

Erro clássico: negar "Todo policial é corajoso" como "Nenhum policial é corajoso". Errado: basta um exemplo contrário para negar o "todo".

Equivalências lógicas

Duas proposições são equivalentes quando têm a mesma tabela-verdade. As mais cobradas:

1. Contrapositiva: p → q ≡ ~q → ~p. Inverte e nega as duas. "Se é bombeiro, então é militar" ≡ "Se não é militar, então não é bombeiro".
2. Condicional em disjunção: p → q ≡ ~p ∨ q. Nega a primeira, mantém a segunda e troca por "ou" (regra do "NE-Y-MAR": Nega a primeira, Mantém a segunda, troca por "ou"). "Se chover, fico em casa" ≡ "Não chove ou fico em casa".
3. Bicondicional: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p).

Pegadinha: "Se p, então q" não é equivalente a "Se q, então p" (recíproca) nem a "Se ~p, então ~q" (inversa).

Como a AOCP cobra

• Montar ou interpretar tabelas-verdade (valor de uma proposição composta).
• Negação de proposições compostas e de quantificadores.
• Equivalências do condicional (contrapositiva e ~p ∨ q).
• Identificar tautologias.
• Reconhecer o que é ou não proposição.

Pegadinhas comuns

• "A negação de 'Se p, então q' é 'Se p, então não q'" (errado: é "p e não q").
• "A negação de 'Todo A é B' é 'Nenhum A é B'" (errado: "Algum A não é B").
• "p → q equivale a q → p" (errado: essa é a recíproca).
• "Uma pergunta pode ser proposição" (errado).
• "O condicional é falso quando o antecedente é falso" (errado: é verdadeiro).

Quadro-resumo

Proposição	Negação	Equivalência
p ∧ q	~p ∨ ~q	—
p ∨ q	~p ∧ ~q	~p → q
p → q	p ∧ ~q	~q → ~p; ~p ∨ q
p ↔ q	p ⊻ q	(p → q) ∧ (q → p)
Todo A é B	Algum A não é B	—
Algum A é B	Nenhum A é B	—